Álgebra Analítica

La Recta

Ecuación general: \( Ax + By + C = 0 \)
Ecuación pendiente-intersección: \( y = mx + b \)
Pendiente de una recta: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Distancia entre dos puntos: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

La Circunferencia

Ecuación general: \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
Ecuación estándar: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
Centro: \( (h, k) \), Radio: \( r \)

La Parábola

Ecuación estándar (horizontal): \( (y - k)^2 = 4p(x - h) \)
Ecuación estándar (vertical): \( (x - h)^2 = 4p(y - k) \)
Foco: \( (h, k + p) \) o \( (h + p, k) \)
Directriz: \( y = k - p \) o \( x = h - p \)

La Elipse

Ecuación estándar (horizontal): \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)
Ecuación estándar (vertical): \( \frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \)
Focos: \( (h \pm c, k) \) o \( (h, k \pm c) \), donde \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \)

La Hipérbola

Ecuación estándar (horizontal): \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)
Ecuación estándar (vertical): \( \frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \)
Asíntotas: \( y = k \pm \frac{b}{a}(x - h) \)

Números Imaginarios

Unidad imaginaria: \( i = \sqrt{-1} \)
Forma binómica: \( z = a + bi \)
Módulo: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Conjugado: \( \overline{z} = a - bi \)

Método de Newton-Raphson

Fórmula iterativa: \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)

Sistemas de Ecuaciones NxN

Método de eliminación de Gauss
Método de Gauss-Jordan
Regla de Cramer: \( x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} \)

Matrices

Determinante de una matriz 2x2: \( \text{det}(A) = ad - bc \)
Inversa de una matriz 2x2: \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)
Producto de matrices: \( C = AB \), donde \( C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} \)

Formulas de Cálculo I

Límites y Continuidad

Límite de una función: \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)
Continuidad en un punto: \( f(x) \) es continua en \( x = a \) si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

Derivadas

Derivada de una función: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
Regla de la cadena: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
Derivada implícita: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \)

Tabla de Derivadas Comunes

Función	Derivada
\( f(x) = x^n \)	\( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
\( f(x) = e^x \)	\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = \sin(x) \)	\( f'(x) = \cos(x) \)
\( f(x) = \cos(x) \)	\( f'(x) = -\sin(x) \)
\( f(x) = \ln(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
\( f(x) = \tan(x) \)	\( f'(x) = \sec^2(x) \)
\( f(x) = \arcsin(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( f(x) = \arccos(x) \)	\( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( f(x) = \arctan(x) \)	\( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)
\( f(x) = \sinh(x) \)	\( f'(x) = \cosh(x) \)
\( f(x) = \cosh(x) \)	\( f'(x) = \sinh(x) \)

Aplicaciones de las Derivadas

Máximos y mínimos: \( f'(x) = 0 \) y \( f''(x) \) para determinar concavidad
Optimización: Uso de derivadas para maximizar o minimizar funciones
Velocidad y aceleración: \( v(t) = s'(t) \) y \( a(t) = v'(t) \)

Integrales

Integral indefinida: \( \int f(x) \, dx = F(x) + C \)
Integral definida: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)
Teorema Fundamental del Cálculo: \( \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \)

Tabla de Integrales Comunes

Función	Integral
\( f(x) = x^n \)	\( \int f(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (para \( n \neq -1 \))
\( f(x) = e^x \)	\( \int f(x) \, dx = e^x + C \)
\( f(x) = \sin(x) \)	\( \int f(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
\( f(x) = \cos(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \sin(x) + C \)
\( f(x) = \frac{1}{x} \)	\( \int f(x) \, dx = \ln\|x\| + C \)
\( f(x) = \tan(x) \)	\( \int f(x) \, dx = -\ln\|\cos(x)\| + C \)
\( f(x) = \sec^2(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \tan(x) + C \)
\( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)	\( \int f(x) \, dx = \arctan(x) + C \)
\( f(x) = \sinh(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \cosh(x) + C \)
\( f(x) = \cosh(x) \)	\( \int f(x) \, dx = \sinh(x) + C \)
\( f(x) = a^x \)	\( \int f(x) \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)

Aplicaciones de las Integrales

Área bajo la curva: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
Volumen de sólidos de revolución: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
Trabajo realizado por una fuerza variable: \( W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \)

Series y Sucesiones

Convergencia de una serie: Uso de criterios como el de comparación y el de la razón
Series geométricas: \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} \) para \( |r| < 1 \)
Series de potencias: Expansión de funciones en series de potencias

Formulas de Física

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Velocidad constante: \( v = \frac{d}{t} \)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)

Velocidad: \( v = v_0 + a \times t \)
Posición: \( x = x_0 + v_0 \times t + \frac{1}{2} a \times t^2 \)
Velocidad Cuadrática: \( v^2 = v_0^2 + 2a \times (x - x_0) \)

Caída Libre

Velocidad: \( v = g \times t \)
Altura: \( h = \frac{1}{2} g \times t^2 \)
Velocidad Cuadrática: \( v^2 = 2g \times h \)

Movimiento Parabólico

Altura máxima: \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \times \sin^2\theta}{2g} \)
Alcance horizontal: \( R = \frac{v_0^2 \times \sin 2\theta}{g} \)
Tiempo de vuelo: \( t = \frac{2v_0 \times \sin\theta}{g} \)

Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Velocidad angular: \( \omega = \frac{2\pi}{T} \)
Velocidad tangencial: \( v = r \times \omega \)
Aceleración centrípeta: \( a_c = \frac{v^2}{r} = r \times \omega^2 \)

Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV)

Aceleración angular: \( \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \)
Velocidad angular: \( \omega = \omega_0 + \alpha \times t \)
Ángulo: \( \theta = \theta_0 + \omega_0 \times t + \frac{1}{2} \alpha \times t^2 \)

Dinámica Lineal

Segunda Ley de Newton: \( F = m \times a \)
Fuerza de Fricción: \( f_r = \mu \times N \)
Impulso: \( I = F \times \Delta t \)

Dinámica Circular

Fuerza centrípeta: \( F_c = m \times \frac{v^2}{r} = m \times r \times \omega^2 \)
Momento de inercia: \( I = \sum m_i \times r_i^2 \)
Torque: \( \tau = r \times F \times \sin \theta \)

Estática

Condición de equilibrio: \( \sum F = 0 \) y \( \sum \tau = 0 \)
Momento de fuerza: \( \tau = r \times F \)
Centro de masa: \( \vec{R} = \frac{1}{M} \sum m_i \times \vec{r}_i \)

Trabajo, Energía y Potencia

Trabajo: \( W = F \times d \times \cos \theta \)
Energía cinética: \( K = \frac{1}{2} m \times v^2 \)
Energía potencial: \( U = m \times g \times h \)
Potencia: \( P = \frac{W}{t} \)

Vectores

Magnitud de un vector: \( |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \)
Suma de vectores: \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} \)
Producto punto: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z \)
Producto cruz: \( \vec{A} \times \vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{i} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{k} \)